El área (A) de las superficies de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra (Lg) por la longitud de la circunferencia (Lc) que describe el centroide o centro de gravedad de dicha línea generatriz alrededor del eje de rotación.
SEGUNDO TEORIMA
El volumen (V) de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra Sg por la longitud de la circunferencia Lc de describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie.
EJEMPLO
Hallar el área de
la superficie de revolución formada al girar 360° un segmento de
longitud 10 sobre un eje de rotación situado en el mismo plano. Los
extremos a y b del segmento distan del eje de rotación 8 y 14 respectivamente.
SOLUCIÓN
La línea generatriz es una línea recta de longitud Lc = 10.
El centroide de la recta es su punto medio g. Por tanto, la distancia R del centroide al eje de rotación será la media aritmética de la distancia de sus extremos.
La longitud de la circunferencia de rotación del centroide g del segmento será:
El área de la superficie de revolución, aplicando el primer teorema de Pappus-Guldin será:
La superficie de revolución resultante será una superficie troncocónica recta.
Ley de Coulomb del
rozamiento. La ley deCoulomb del
rozamiento, establecida por Coulomb experimentalmente
en 1781, establece que la fuerza de rozamiento máxima (FRmax) que
puede existir entre dos cuerpos en contacto es directamente proporcional al
valor de la fuerza normal (N) de contacto entre ellos. La
constante de proporcionalidad es el coeficiente de rozamiento al
deslizamiento (m).
Solución:
Como lo que nos piden es prácticamente el coeficiente de
rozamiento de fricción estática, solamente debemos recordar que en nuestra
fórmula es la razón entre la fuerza estática máxima y la normal, dichos datos
los tenemos:
Lo que vendría a ser nuestro coeficiente de fricción estático
entre la madera y el acero.
Problema 1.-
Una carga de 3×10^-6 C se encuentra 2 m de una carga de -8×10^-6 C, ¿Cuál es la
magnitud de la
fuerza de atracción entre las cargas?
Solución: Para darle solución
al ejercicio, debemos de obtener los datos para poder resolverlo de manera
directa, puesto que tenemos todo lo que necesitamos.
Aplicando la fórmula de la ley de coulomb
Sustituimos
Hemos multiplicado las cargas
eléctricas, recordar que los exponentes se suman. y hemos elevado al
cuadrado la distancia que los separa, ahora seguimos con las operaciones.
Multiplicamos y obtenemos:
Vemos que hay un signo negativo, por ahora no nos sirve interpretar el
signo, puesto que el problema nos pide la magnitud de la fuerza, esto quiere
decir que tomaremos la fuerza como un valor absoluto, que vendría a ser nuestro
resultado.
Coeficiente
de fricción.
Una fuerza es toda causa de deformar un cuerpo o de modificar su
estado de reposo o de movimiento. Además, toda fuerza tiene un agente
específico que puede ser animado o inanimado. Lo que caracteriza una fuerza es
el punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido. La fuerza de rozamiento
es una fuerza que aparece cuando hay dos cuentos en contacto y es una fuerza
muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. La magnitud de
la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la
normal entre dos cuerpos, es decir:
Donde es lo que conocemos como coeficiente de
rozamiento.
Hay dos coeficientes de rozamiento: el estático y el cinético siendo el primero mayor que el segundo:
La fuerza de rozamiento estática determina la fuerza mínima
necesaria para poner en movimiento un cuerpo. Si no hubiera rozamiento una
fuerza muy pequeña sobre un cuerpo apoyado en el piso ya podría a este en
movimiento. Sin embargo existe un valor mínimos de fuerza a aplicar para que
esto ocurra. Eso se debe a que existe una fuerza de rozamiento que se opone al
inicio del movimiento. Las fuerzas del rozamiento estático son del mismo valor
pero de diferente sentido que las fuerzas que vayamos a aplicar para tratar de
poner al cuerpo en movimiento, mientras este no se mueva, es decir que no tiene
un valor constante. Mientras que las fuerzas que obren sobre la superficie que
se encuentra en movimiento relativo, se llama fuerza de rozamiento cinético.
El coeficiente de rozamiento estático es el factor de
proporcionalidad que relaciona la fuerza necesaria para que un bloque empiece a
deslizarse y la fuerza normal. Al ser un coeficiente de fuerza carece de
unidades. La fuerza necesaria para que un bloque comience a deslizarse es igual
a la fuerza de rozamiento máxima.
Dellatín frictio,
el término fricciónderiva defriccionar.
Este verbo refiere a frotar, restregar o rozar algo.
Se conoce como fuerza de fricción a
la que realiza una oposición al desplazamiento de una superficie sobre otra, o
a aquélla opuesta al comienzo de un movimiento.
La fricción, como fuerza, se origina por
las imperfecciones entre
los objetos que mantienen contacto, las cuales pueden
ser minúsculas, y generan un ángulo de rozamiento.
Es posible distinguir entre la fricción estática,
que es una resistencia que necesita ser trascendida para movilizar una cosa
frente a otra con la que tiene contacto, y la fricción dinámica,
que es la magnitud constante que genera oposición al desplazamiento cuando éste
ya se inició. En pocas palabras, el primer tipo tiene lugar cuando los cuerpos
se encuentran en reposo relativo, mientras que el segundo ocurre una vez que se
encuentran en movimiento.
Las fuerzas de fricción estáticas
que se produce por la interacción entre las irregularidades de las dos
superficies se incrementará para evitar cualquier movimiento relativo hasta un
límite donde ya empieza el movimiento. Ese umbral del movimiento, está caracterizado por el
coeficiente de fricción estática. El coeficiente de fricción estática, es
típicamente mayor que el coeficiente de fricción cinética.
No se puede caracterizar de manera simple la distinción entre los
coeficientes estático y cinético de fricción, se trata de un aspecto del
"mundo real", la experiencia común de un fenómeno. La diferencia
entre los coeficientes estáticos y cinéticos obtenidos en los experimentos
simples, como bloques de madera deslizándose sobre pendientes de madera, sigue
más o menos el modelo representado en la curva de fricción que se ilustra arriba,
de donde se ha extraído. Esta diferencia puede surgir de las irregularidades,
contaminantes de las superficies, etc., que desafían una descripción precisa.
Cuando estos experimentos se llevan a cabo con bloques de metal suave, que se
limpian cuidadosamente, la diferencia entre los coeficientes estático y
cinético tiende a desaparecer. Cuando en una determinada combinación de
superficies, se citan coeficientes de fricción, generalmente está referido al
coeficiente de fricción cinética, por ser el número más fiable.
Fricción
Cinética
Cuando dos
superficies se mueven una respecto de la otra, la resistencia de fricción es
casi constante, para un amplio rango de velocidades bajas, y en el modelo
estándar de fricción, la fuerza de fricción, está descrita por la relación de
abajo. El coeficiente típicamente es menor que el coeficiente de fricción
estática, reflejando la experiencia común, de que es más fácil mantener algo en
movimiento a lo largo de una superficie horizontal, que iniciar el movimiento desde
el reposo.
Fricción por Rodamiento
Una rueda de
rodadura requiere una cierta cantidad de fricción para que el punto de contacto
de la rueda con la superficie no se deslice. La cantidad de tracción que se
puede obtener de un neumático de automóvil, está
determinada por el coeficiente de fricción estática entre el neumático y la
calzada. Si la rueda se bloquea y desliza, la fuerza de fricción está determinado
por el coeficiente de fricción cinética, y es por lo general mucho menor.
Suponiendo que una rueda está rodando sin deslizar, la fricción de la
superficie no la hace trabajar en contra del movimiento de la rueda
y por tanto, no se pierde energía en ese punto. Sin embargo, hay una cierta
pérdida de energía y una cierta desaceleración
por la fricción en una rueda real, a esto se le refiere a veces como fricción
por rodadura. Es en parte fricción en el eje, y puede deberse en parte a la
flexión de la rueda la cual disipará un poco de energía. Se han reportado
cifras de 0,02 a 0,06 como coeficientes efectivo de fricción por rodadura para
neumáticos de automóviles, en comparación con alrededor de 0,8 para un
coeficiente de fricción estático máximo entre el neumático y la carretera
Es uno de los principales
tipos de estructura que se usan en ingeniería, es una solución práctica y
económica como para el diseño de puentes y edificios.
Los elementos de esta por lo
general son delgados y solo soportan cargas laterales pequeñas, por ello todas
las cargas deben de estar aplicadas en los nodos no sobre los elementos.
El método de secciones se
usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Se basa en el
principio de que un cuerpo está en equilibrio entonces en cualquier parte del
cuerpo está también en equilibrio.
Determine
la fuerza en los miembros GE, GC, y BC de la estructura. Indique si los
miembros están en tensión o compresión.
Elegimos
la sección a-a porque corta tres miembros
-Diagrama de cuerpo libre de la
estructura completa para determinar las reacciones de los soportes
+→∑ Fx
=0; 400 N−Ax =0
⇒
Ax =400 N
∑ M A=0; −1200N (8m) − 400 N (3m) + Dy (12m)=0
⇒
D y =900 N
+↑∑ F y =0; A y−1200 N + 900 N=0
⇒
A y =300 N
Diagrama
de cuerpo libre para una de las secciones
Definición:
Una estructura se dice articulada o triangulada cuando está formada por barras conectadas entre si mediante articulaciones perfectas (rótulas).
en el equilibrio de estructuras formadas por diversos componentes conectados, aparte de las fuerzas externas, hay que considerar las fuerzas internas. En la interacción entre las distintas partes conectadas, hay que aplicar la tercera ley de Newton (acción-reacción). Estas parejas de fuerzas tienen igual modulo y dirección y sentido opuesto.
En específico las
características de una estructura articulada son las siguientes:
·Son amplia mente utilizadas en la industria,
por ejemplo en puentes y en techos o tejados.
·Su diseño es simple pues se trata de barras
unidas entre sí por articulaciones en sus extremos.
·Existen muchos diseños clásicos de
estructuras articuladas, como los que se muestran en la figura siguiente:
Generalmente las estructuras articuladas
se construyen a partir de un triángulo al que luego se le van añadiendo otros
sucesivamente. Esto se debe a que el triángulo es en muchos aspectos la
geometría simple más resistente que existe. Si aplicamos una fuerza en un
cuadrilátero o en un pentágono, estos pueden deformarse, sin embargo, no hay
forma de deformar la geometría de un triángulo sin que este colapse.
Los miembros de la estructura reticulada solo trabajan a tensión o compresión.
La contribución de los cortantes y la de los flectores es nula.
Su método de cálculo clásico solo
permite la aplicación de fuerzas en los nodos. Si no fuera así, sería necesario
buscar sistemas equivalentes que cumplieran este requisito (por ejemplo, una
carga distribuida constante q, a lo largo de una longitud L, se modelizaría
como dos cargas qL/2 en cada nodo).
Método de cálculo:
La primera tarea consiste en calcular el
DSI para determinar el carácter de la estructura. Esto se puede hacer mediante
esta sencilla ecuacion:
DSI = m+r-2j
Donde m es el número de barras, r el
número de reacciones y j el número de nodos. Ver ejemplos de la figura
siguiente:
Cuando se haya calculado, se debe
verificar que la estructura es efectivamente estable y que no existe ningún
tipo de aceleración dentro de esta. Para ilustrarlo, véase la siguiente la
siguiente estructura en la que DSI = 4+4-2.4=0, pero que no es estable (ver la
incompatibilidad a la que conduce una fuerza horizontal aplicada en el nodo
superior derecho).
Una vez se ha verificado que la
estructura es isostática, para su resolución se pueden utilizar tres métodos,
basados siempre en equilibrios de fuerzas. Estos son:
Método de los nodos: consiste en aplicar
las ecuaciones del equilibrio de fuerzas verticales y horizontales en cada nodo
para obtener así dos fuerzas internas por nodo.
Método de las secciones: se corta por un
determinado punto de la estructura, y mediante el uso de las tres ecuaciones
escalares del equilibrio es posible calcular la tensión de tres de sus
miembros.
Método gráfico o Cremona: se basa en el
equilibrio de fuerzas en los nodos evaluados gráficamente.
Elección entre estructuras reticuladas o
vigas:
La decisión final del diseñador a la
hora de escoger entre ambos tipos de estructuras, está fuertemente condicionada
por aspectos económicos. En general, la cantidad de material necesario para
cubrir una determinada distancia suele ser menor en las estructuras
reticuladas, sin embargo, el precio de su mantenimiento y construcción
incrementan bastante el gasto global.
Como características adicional, hay que
mencionar que en general, para una misma cantidad de material, la rigidez de
las estructuras articuladas es superior a la de las vigas.
En consecuencia, para cubrir distancias
cortas, una viga será más económica, puesto que a pesar de emplear más
material, el ahorro en construcción y montaje lo compensan sobradamente y esa
rigidez algo menor no resultaría decisiva. Para distancias más largas, el coste
en material sería importante, predominando el uso de estructuras reticuladas,
cuyo precio de montaje estará más que compensado.
Un cuerpo rígido se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos
Momento de la fuerza
.
Principio de Transmisibilidad
Este principio establece condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rígido. Una fuerza F
Puede ser reemplazada por otra fuerza F’
Que tenga la misma magnitud y sentido, en un distinto punto siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.
